Il paradosso della fascia - Soluzione

Leggete prima l'enunciato se non lo avete già fatto. Quella che segue è la soluzione.

La banda solida si può approssimare ad un cerchio perfetto, trascurando il suo spessore in quanto di molto inferiore ad 1 metro.

Com'è noto la misura della circonferenza di un cerchio dipende linearmente dal suo diametro o raggio, tramite una costante caratteristica che è il pigreco, un numero aperiodico illimitato (il suo valore approssimato a 5 cifre decimali è 3.14159):

c = π d = 2 π r

Indicate col pedice 1 le misure della fascia prima dell'allungamento e con 2 quelle dopo e infine con "e" l'elevazione della banda rispetto alla sfera che cinge all'equatore, si ha il seguente sistema di equazioni:

c1 = 2 π r1
c2 = 2 π r2
c2 = c1 + 1
e = r2 - r1

Dal momento che l'incognita è "e", lo riscriviamo in queste forme equivalenti, allo scopo di arrivare a una soluzione:

2π r1 + 1 = 2π r2
e = r2 - r1

e = r2 - r1 = 1 / (2π) ≈ 0.16

La cosa sorprendente è che l'elevazione risultante dipende solo dall'allungamento "a" e non dal raggio della sfera r1:

      a
e = -----
     2 π

A parità di "a" si ottiene proporzionalmente il valore di "e" indipendentemente dalle dimensioni della sfera o dell'anello, che sia tanto grande come il sole o tanto piccola come una mela. Questa situazione è falsamente paradossale.

L'elevazione in effetti non è altro che un incremento del raggio della banda e tale incremento è proporzionale alla lunghezza aggiunta alla circonferenza e del tutto indipendente dalle dimensioni iniziali del raggio o della circonferenza.

Il falso paradosso si ha se si pensa erroneamente che sussista una dipendenza di proporzionalità dell'elevazione direttamente dal raggio o dalla circonferenza, iniziale o finale.

In altri termini si confonde il concetto di variazione di una grandezza con la grandezza stessa (la lunghezza del raggio).

Nel nostro caso per 1 m di allungamento abbiamo poco meno di 16 cm di elevazione, una palla da baseball è larga meno di 8 cm e ci entra benissimo.

Ancora una osservazione: riscrivendo la formula come a = 2π e, notate che l'elevazione e rappresenta proprio il raggio d'una circonferenza che misura quanto la lunghezza aggiunta!

In effetti dal momento che anche agli antipodi di un qualsiasi punto fissato sulla circonferenza si ha la stessa elevazione questa relazione non sorprende. Detto in altri termini: se si espande una circonferenza di una certa lunghezza a, il suo diametro aumenta proporzionalmente ad a e la costante di proporzionalità è π^-1.