Indovinello nel campo delle capre

Domanda

Nel mio campo bazzicano un certo numero di capre e di polli. Contando le zampe, se ne vedono 22, mentre le teste sono 8. Quante capre e quanti polli ci sono?

Risposta

Ci sono vari modi per risolvere questo problema, tutti equivalenti. E' istruttivo vederli tutti e confrontarli tra loro.

Soluzione del contadino

Un contadino che non ha mai studiato concetti avanzati di matematica e conosce solo la tabellina pitagorica imparata alle scuole elementari, potrebbe ragionare a tentativi e, credetemi, non è un modo sbagliato di ragionare. Infatti, anche se non molto efficiente, funziona: se ci sono 8 teste, non possono essere tutte capre e zero polli, perché 8*4=32 zampe > 22. Abbiamo fatto 8 per 4 perché ogni capra ha ovviamente 4 zampe. Siccome anche 7*4=28 > 22, non ci possono essere nemmeno 7 capre. Similmente 6*4=24 > 22.

Proviamo poi con 5 capre: 5*4=20, stavolta è minore di 22! Potrebbe essere la soluzione. Vediamo se i conti delle zampe tornano: se  ci sono 5 capre, ci sono 20 zampe come appena visto, ma restano solo 2 zampe, che vuol dire solo 1 pollo, per un totale di 5+2=7 teste < 8. Il problema afferma che il numero delle teste è 8, ma così ce ne sarebbero solo 7. Quindi non ci possono essere 5 capre.

Similmente 4 capre * 4 zampe/capra = 16 zampe (di capra)< 22, ma 4 polli * 2 zampe/pollo = 8 zampe (di pollo) e 16 zampe (di capra) + 8 zampe (di pollo) = 24 zampe > 22.

Proviamo allora con 3. Dunque, 3 capre*4 zampe/capra=12 zampe. Poi 8 teste - 3 teste (di capra) = 5 teste (di pollo). 5 teste di pollo implica (ovviamente) 5 polli, per un totale di 5 * 2 = 10 zampe (di pollo). 12 zampe (di capra) + 10 zampe (di pollo) = 22 zampe. Allora questa è la soluzione, ci sono 3 capre e 5 polli!

Un altro contadino, potrebbe fare un ragionamento simile partendo dall'ipotesi di 0 capre, 1 capra, 2 capre, fino a 3 capre, oppure da quella di 0 polli, 1 pollo... fino a 5 polli. Un altro ancora potrebbe partire da 8 polli, per poi ridurne il numero fino a 5, per far tornare il conto totale delle zampe. Tutte le strade portano ovviamente alla stessa soluzione.

Il numero dei tentativi da fare in questo caso non è alto, ma in generale capita che potrebbe essere proibitivo. E' per questo motivo che in matematica si sono sviluppate tecniche e metodi più rapidi per trovare la soluzione delle equazioni, basati sulla manipolazione simbolica delle stesse, come vedremo nel prossimo paragrafo.

Soluzione del matematico

Un matematico avvezzo a risolvere i problemi in modo analitico, indica on C il numero delle capre, con P quello dei polli e scrive un sistema di due equazioni, la prima che afferma che il numero di zampe è 22 e la seconda equivale a dire che il numero di teste è 8.

4*C + 2*P = 22
C + P = 8

Bisogna quindi trovare i valori di C e P (se esistono) tali che entrambe le equazioni siano soddisfatte e questi saranno rispettivamente il numero delle capre e dei polli.

Dell'esistenza di una soluzione siamo sicuri, a meno che chi ha contato le zampe non ha sbagliato il conto. In generale però si possono avere sistemi d'equazione che non ammettono una soluzione intera positiva, come ad es. questo:

C + 2P = 3
C + P = 1

la cui soluzione è C = -1 e P = 2, oppure questo:

C - P = 0
C + P = 1

la cui soluzione è C = 1/2 e P = 1/2. Ovviamente non può esistere una mezza capra o un numero di capre negativo, ma se C e P hanno altri significati (in altri problemi) la soluzione potrebbe essere accettabile.

Esistono anche sistemi d'equazione che non ammettono soluzione, come ad es:

C + P = 1
C + P = 2

Ovviamente non possono esistere due numeri C e P tali che la loro somma sia contemporaneamente uguale sia a 1 sia a 2!

Tornando al nostro sistema originale, a questo punto ci sono vari modi per trovare la soluzione:

risoluzione per sostituzione

C + P = 8 è equivalente a C = 8 - P. Sostituendo nella prima equazione, quella del numero delle teste, si ottiene una sola equazione nella sola variabile P:

4*(8-P) + 2*P = 22

32 - 4*P + 2*P = 22

32 - 2*P = 22

32 - 22 = 2*P

10 = 2*P

Un valore di P che risolve questa equazione è ovviamente 5, in quanto 10 = 2*5. Allora se P=5, la seconda equazione del sistema C + P = 8 diventa:

C + 5 = 8

e questo ci fa trovare il valore di C, C = 3. Quindi C = 3 e P = 5 risolvono il sistema e il problema. In altri termini ci sono 3 capre, per un totale di 12 zampe di capra e 3 teste di capra e 5 polli, per un totale di 10 zampe di pollo e 5 teste di pollo. Il numero totale di teste è 8 e quello di zampe è 12 + 10 = 22, come affermato nel testo del problema, quindi abbiamo verificato che la soluzione è corretta.

risoluzione per sottrazione d'equazioni

Dato il sistema:

4*C + 2*P = 22
C + P = 8

un sistema equivalente si ottiene moltiplicando entrambi i membri della seconda equazione per 2:

4*C + 2*P = 22
2*C + 2*P = 8*2

A questo punto sottraendo membro a membro si ottiene un'equazione nella sola incognita C:

4*C - 2*C + 2*P - 2*P = 22 - 16

2*C= 6

C = 6 / 2 = 3

da C + P = 8 si ottiene poi P = 8 - C = 8 - 3 = 5.

risoluzione per cambio di variabili

Un altro matematico potrebbe risolvere il sistema con un trucchettoso cambio di variabili, ponendo:

C = CP + CS
P = CP - CS

Introducendo le due variabili CP e CS, legate da queste relazioni di somma e sottrazione con le variabili originarie C e P, si ottiene un nuovo sistema, stavolta nelle variabili CP e CS, che si spera esser più facile da risolvere:

4*C + 2*P = 22
C + P = 8

4*(CP + CS) + 2*(CP - CS) = 22

(CP + CS) + (CP - CS) = 8

6*CP + 3*CS = 22

2*CP = 8

Come si vede dall'ultima equazione, le sostituzioni permettono di calcolare immediatamente CP = 4. La prima equazione consente poi di calcolare CS:

6*4 + 2*CS = 22

CS = -2 / 2 = -1

Noti CP e CS, le posizioni iniziali:

C = CP + CS
P = CP - CS

consentono di risalire a C ed S:

C = 4 - 1 = 3
P = 4 - (-1) = 5

CP e CS non hanno alcun significato particolare. In generale questo metodo usa sostituzioni trucchettose, che hanno il solo scopo di semplificare il sistema, producendo un sistema con un'equazione contenente una sola incognita (CP nel caso precedente), quindi pronto per essere agevolmente risolto.

Tuttavia in alcuni casi le nuove variabili potrebbero avere un'interpretazione, anche se fantasiosa. Ad es., se i dati del problema fossero stati 28 zampe e 8 teste:

4*C + 2*P = 28

C + P = 8

allore le stesse sostituzioni:

C = CP + CS
P = CP - CS

avrebbero condotto ad un sistema nelle variabili CP e CS che ha come soluzione dei numeri interi positivi:

6*CP + 2*CS = 28

2*CP = 8

CP in tal caso è 4 e CS = (28 - 24) / 2 = 4 / 2 = 2. Da questi si trova:

C = 4 + 2 = 6

P = 4 - 2 = 2

L'interpretazione fantasiosa di CP (che giustifica il nome scelto per questa variabile) è quella di un animale chiamato capra-pollo, avente 6 zampe e 2 teste (infatti nel sistema nelle variabili CP e CS, CP compare con i coefficienti 6 nella prima equazione e 2 nella seconda), come se una capra e un pollo fossero attaccati insieme in un'unico animale. Mentre CS sarebbe una capra "spollata", priva di testa e con solo due zampe, una specie di differenza tra la capra e il pollo. Una capra ha 4 zampe e 1 testa, togliendo una testa non ne resta nessuna e togliendo 2 zampe, ne restano solo 2.

In altri termini il cambio di variabili è stato equivalente a risolvere lo stesso problema per questi due animali fantasiosi (per cui si ottiene un sistema di più facile soluzione), per poi tornare alla soluzione originaria, facendo uso delle posizioni fatte. A questo proposito c'è da notare che questo metodo risulta di difficile applicazione in generale. Non sempre è facile indovinare le sostituzioni giuste che semplificano il sistema e a seconda del sistema originario, potrebbero non essere semplicemente una somma e una sottrazione.