Il paradosso dell'aereoplano - Enunciato

Introduzione

E' uno stimolante indovinello sul concetto della velocità media. In letteratura potete trovarlo ad esempio nel
volume "Entertaining Mathematical Puzzles" di Martner Gardner (Dover Publications, 1986). È molto economico, se volete acquistarlo, fatelo tramite ClubShop e la libreria Rizzoli per supportare questo sito, grazie.

Quesito

Un aereoplano fa un viaggio di andata e ritorno in linea retta tra due città  tra cui soffia un vento costante con velocità vv ("velocità del vento") rispetto alla terra. Si sa che in assenza di vento l'aereo ha una velocità media vc ("velocità di crociera"), uguale sia per il tratto di andata che per quello di ritorno (e quindi anche per l'intero viaggio) e ovviamente misurata rispetto alla terraferma. In presenza di vento qual'è la velocità media effettiva ve dell'aereo durante l'intero viaggio?

Apparente paradosso

Il falso paradosso nasce se si pensa che ve = vc. Questo sembra ragionevole dal momento all'andata il vento sarà a favore e al ritorno sarà contro o viceversa.

Più precisamente se si ipotizza che "ve = vc con vv qualsiasi" si cade nell'assurdo che la velocità media effettiva rimanga invariata anche nel caso in cui |vv|≥vc, una situazione in cui invece dovrebbe essere ve = 0 (il vento è troppo forte e non consente proprio di intraprendere il viaggio di andata se è a sfavore all'andata o quello di ritorno se lo è al ritorno). Questo dimostra per assurdo che l'ipotesi di soluzione, nel preciso modo in cui è stata formulata prima ("ve = vc con vv qualsiasi") è falsa, la risposta corretta deve essere per forza un'altra.

Se si assume ve = vc per 0<vv<vc, si è pure in errore in quanto in realtà in questo caso risulta sempre ve<vc.

Facciamo un esempio numerico: ponendo vc=100 (es. km/h) e vv = 50, supponendo che la distanza tra le due città sia di sa = sr = 300 (km) e che il vento sia a favore, nel viaggio di andata a favor di vento la velocità media va = vc + vv = 100 + 50 = 150, quindi impiego un tempo ta = sa / va = 300 / 150 = 2 (h) (2 ore invece di 3 che impiegherei senza vento, guadagno quindi 1 ora). Nel viaggio di ritorno però similmente ho: vr = 100 - 50 = 50, tr = sr / vr = 300 / 50 = 6 (h) (quindi impiego 6 ore invece delle 3 senza vento). In totale per tutto il viaggio la velocità media è: ve = (sa + sr) / (ta + tr) = (300 + 300) / (2 + 6) = 75 (km/h), quindi si è ridotta di un 25% e in tutto il vento mi ha fatto perdere 2 ore su questa tratta!

E' sbagliato credere quindi che, nell'ipotesi di vento a favore all'andata, il tempo guadagnato per il viaggio d'andata sia uguale a quello che si perderà al ritorno, anzi quest'ultimo è sempre maggiore del primo (vale il viceversa per vento a sfavore all'andata e a favore al ritorno).

Fissato vc, la ve in funzione di vv varierà in modo continuo dal valore vc che assume per vv=0 fino al valore 0 che assume per vv=vc. Se volete sapere come varia, trovate qui i calcoli.