Il paradosso dell'aereoplano - Soluzione

Qui è stato posto il problema...

Soluzione

Osserviamo innanzitutto per |vv|≥vc ovviamente il viaggio non potrà essere completato per il vento troppo forte e ve=0 (ricordate che ve è la velocità media di tutto il viaggio).

Occupiamoci quindi del caso |vv|<vc ovvero -vc<vv<vc . Applicando la definizione di velocità media sia all'intero viaggio che ai due tratti andata e ritorno e altre ovvie uguaglianze si ottiene il seguente sistema di equazioni:

ve = se / te
se = sa + sr
te = ta + tr
sa = sr = se/2
va = vc + vv = sa / ta
vr = vc - vv = sr / tr

Qui stiamo supponendo che il vento sia a favore all'andata, comunque per ottenere le formule per il caso contrario basta invertire il segno di vv (cioè sostituire vv con -vv). Tenendo conto che l'incognita è ve e le variabili note sono vc e vv, si ottiene facilmente dopo alcuni passaggi la soluzione:

ve = se / (ta + tr)
osservate che nelle nostre ipotesi se != 0 e |vc| != |vv|
= se / (se / (2 (vc + vv)) + se / (2 (vc - vv)))
= 1 / (1 / (2 (vc + vv)) + 1 / (2 (vc - vv)))
= 2 / ( (vc - vv + vc + vv) / (vc² - vv²)))
= (vc² - vv²) / vc

Potete fissare dei valori di vc e vv e calcolare ve, ma anche vedere ve come una funzione di due variabili ve(vc, vv), oppure fissata una tra vc e vv come funzione di una sola variabile. Ad es. fissando vc ho ve(vv). Si tratta di una funzione definita a tratti in base ai valori di vv:

             +-- 0, per |vv|vc
             |
ve(vc, vv) = |
             |
             +-- (vc2 - vv2) / vc, per |vv| < vc

Possiamo fissare un valore di vc, ad es. 100 (per es. km/h) e disegnare il grafico della funzione di una sola variable reale:

         +-- 0, per |vv|≥=100
ve(vv) = |
         +-- 100 - vv2/100, per |vv| < 100

Eccola qui, l'ho disegnata con Grapher di Mac OS X. C'è un tratto di parabola invertita con due zeri in vv=-vc e vv=vc e vale vc per vv=0:

Per es. osservate che per vv=vc/4=25 ottengo ve=100-6.25=93.75, velocità ridotta al 93.75%. Poi per vv=vc/2=50 ho ve=100-25=75, velocità ridotta a 3/4 (75%). A parole: se la velocità del vento è la metà di quella di crociera, la velocità media di tutto il viaggio si riduce ai 3/4, ossia al 75%. La riduzione della velocità è meno drastica rispetto ad un andamento lineare (il segmento che unirebbe i punti (0,100) e (100,0), ma comunque significativa rispetto al caso di assenza di vento. Solo per valori molto piccoli di vv rispetto a 100 (valori di vv quindi vicini allo zero) si può assumere che la velocità resti invariata (secondo la tangente nel punto (0,100) che è una retta orizzontale).