Questo anello sarà tanto largo da poterci infilare sotto:
- una carta da gioco
- una mano
- una palla da baseball
- nessuno degli oggetti precedenti
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Sunday, December 13, 2009
Il paradosso della fascia
Una sfera perfetta grande quanto il sole è cinta all'equatore da una sottile fascia rigida (es. d'acciaio). Si supponga di allungare la banda di 1 metro, in modo che si elevi dalla sfera in modo uniforme, ovvero il suo centro rimanga coincidente con quello della sfera.
Questo anello sarà tanto largo da poterci infilare sotto:
Vedere la soluzione.
Questo anello sarà tanto largo da poterci infilare sotto:
Vedere la soluzione.
Il paradosso della fascia - Soluzione
Leggete prima l'enunciato se non lo avete già fatto. Quella che segue è la soluzione.
La banda solida si può approssimare ad un cerchio perfetto, trascurando il suo spessore in quanto di molto inferiore ad 1 metro.
Com'è noto la misura della circonferenza di un cerchio dipende linearmente dal suo diametro o raggio, tramite una costante caratteristica che è il pigreco, un numero aperiodico illimitato (il suo valore approssimato a 5 cifre decimali è 3.14159):
c = π d = 2 π r
Indicate col pedice 1 le misure della fascia prima dell'allungamento e con 2 quelle dopo e infine con "e" l'elevazione della banda rispetto alla sfera che cinge all'equatore, si ha il seguente sistema di equazioni:
c1 = 2 π r1
c2 = 2 π r2
c2 = c1 + 1
e = r2 - r1
Dal momento che l'incognita è "e", lo riscriviamo in queste forme equivalenti, allo scopo di arrivare a una soluzione:
2π r1 + 1 = 2π r2
e = r2 - r1
e = r2 - r1 = 1 / (2π) ≈ 0.16
La cosa sorprendente è che l'elevazione risultante dipende solo dall'allungamento "a" e non dal raggio della sfera r1:
A parità di "a" si ottiene proporzionalmente il valore di "e" indipendentemente dalle dimensioni della sfera o dell'anello, che sia tanto grande come il sole o tanto piccola come una mela. Questa situazione è falsamente paradossale.
L'elevazione in effetti non è altro che un incremento del raggio della banda e tale incremento è proporzionale alla lunghezza aggiunta alla circonferenza e del tutto indipendente dalle dimensioni iniziali del raggio o della circonferenza.
Il falso paradosso si ha se si pensa erroneamente che sussista una dipendenza di proporzionalità dell'elevazione direttamente dal raggio o dalla circonferenza, iniziale o finale.
In altri termini si confonde il concetto di variazione di una grandezza con la grandezza stessa (la lunghezza del raggio).
Nel nostro caso per 1 m di allungamento abbiamo poco meno di 16 cm di elevazione, una palla da baseball è larga meno di 8 cm e ci entra benissimo.
Ancora una osservazione: riscrivendo la formula come a = 2π e, notate che l'elevazione e rappresenta proprio il raggio d'una circonferenza che misura quanto la lunghezza aggiunta!
In effetti dal momento che anche agli antipodi di un qualsiasi punto fissato sulla circonferenza si ha la stessa elevazione questa relazione non sorprende. Detto in altri termini: se si espande una circonferenza di una certa lunghezza a, il suo diametro aumenta proporzionalmente ad a e la costante di proporzionalità è π-1.
La banda solida si può approssimare ad un cerchio perfetto, trascurando il suo spessore in quanto di molto inferiore ad 1 metro.
Com'è noto la misura della circonferenza di un cerchio dipende linearmente dal suo diametro o raggio, tramite una costante caratteristica che è il pigreco, un numero aperiodico illimitato (il suo valore approssimato a 5 cifre decimali è 3.14159):
c = π d = 2 π r
Indicate col pedice 1 le misure della fascia prima dell'allungamento e con 2 quelle dopo e infine con "e" l'elevazione della banda rispetto alla sfera che cinge all'equatore, si ha il seguente sistema di equazioni:
c1 = 2 π r1
c2 = 2 π r2
c2 = c1 + 1
e = r2 - r1
Dal momento che l'incognita è "e", lo riscriviamo in queste forme equivalenti, allo scopo di arrivare a una soluzione:
2π r1 + 1 = 2π r2
e = r2 - r1
e = r2 - r1 = 1 / (2π) ≈ 0.16
La cosa sorprendente è che l'elevazione risultante dipende solo dall'allungamento "a" e non dal raggio della sfera r1:
a
e = -----
2 π
A parità di "a" si ottiene proporzionalmente il valore di "e" indipendentemente dalle dimensioni della sfera o dell'anello, che sia tanto grande come il sole o tanto piccola come una mela. Questa situazione è falsamente paradossale.
L'elevazione in effetti non è altro che un incremento del raggio della banda e tale incremento è proporzionale alla lunghezza aggiunta alla circonferenza e del tutto indipendente dalle dimensioni iniziali del raggio o della circonferenza.
Il falso paradosso si ha se si pensa erroneamente che sussista una dipendenza di proporzionalità dell'elevazione direttamente dal raggio o dalla circonferenza, iniziale o finale.
In altri termini si confonde il concetto di variazione di una grandezza con la grandezza stessa (la lunghezza del raggio).
Nel nostro caso per 1 m di allungamento abbiamo poco meno di 16 cm di elevazione, una palla da baseball è larga meno di 8 cm e ci entra benissimo.
Ancora una osservazione: riscrivendo la formula come a = 2π e, notate che l'elevazione e rappresenta proprio il raggio d'una circonferenza che misura quanto la lunghezza aggiunta!
In effetti dal momento che anche agli antipodi di un qualsiasi punto fissato sulla circonferenza si ha la stessa elevazione questa relazione non sorprende. Detto in altri termini: se si espande una circonferenza di una certa lunghezza a, il suo diametro aumenta proporzionalmente ad a e la costante di proporzionalità è π-1.
Thursday, December 3, 2009
Il paradosso dell'aereoplano - Soluzione
Qui è stato posto il problema...
Osserviamo innanzitutto per |vv|≥vc ovviamente il viaggio non potrà essere completato per il vento troppo forte e ve=0 (ricordate che ve è la velocità media di tutto il viaggio).
Occupiamoci quindi del caso |vv|<vc ovvero -vc<vv<vc . Applicando la definizione di velocità media sia all'intero viaggio che ai due tratti andata e ritorno e altre ovvie uguaglianze si ottiene il seguente sistema di equazioni:
ve = se / te
se = sa + sr
te = ta + tr
sa = sr = se/2
va = vc + vv = sa / ta
vr = vc - vv = sr / tr
Qui stiamo supponendo che il vento sia a favore all'andata, comunque per ottenere le formule per il caso contrario basta invertire il segno di vv (cioè sostituire vv con -vv). Tenendo conto che l'incognita è ve e le variabili note sono vc e vv, si ottiene facilmente dopo alcuni passaggi la soluzione:
ve = se / (ta + tr)
osservate che nelle nostre ipotesi se != 0 e |vc| != |vv|
= se / (se / (2 (vc + vv)) + se / (2 (vc - vv)))
= 1 / (1 / (2 (vc + vv)) + 1 / (2 (vc - vv)))
= 2 / ( (vc - vv + vc + vv) / (vc2 - vv2)))
= (vc2 - vv2) / vc
Potete fissare dei valori di vc e vv e calcolare ve, ma anche vedere ve come una funzione di due variabili ve(vc, vv), oppure fissata una tra vc e vv come funzione di una sola variabile. Ad es. fissando vc ho ve(vv). Si tratta di una funzione definita a tratti in base ai valori di vv:
Eccola qui, l'ho disegnata con Grapher di Mac OS X. C'è un tratto di parabola invertita con due zeri in vv=-vc e vv=vc e vale vc per vv=0:
Per es. osservate che per vv=vc/4=25 ottengo ve=100-6.25=93.75, velocità ridotta al 93.75%. Poi per vv=vc/2=50 ho ve=100-25=75, velocità ridotta a 3/4 (75%). A parole: se la velocità del vento è la metà di quella di crociera, la velocità media di tutto il viaggio si riduce ai 3/4, ossia al 75%. La riduzione della velocità è meno drastica rispetto ad un andamento lineare (il segmento che unirebbe i punti (0,100) e (100,0), ma comunque significativa rispetto al caso di assenza di vento. Solo per valori molto piccoli di vv rispetto a 100 (valori di vv quindi vicini allo zero) si può assumere che la velocità resti invariata (secondo la tangente nel punto (0,100) che è una retta orizzontale).
Soluzione
Osserviamo innanzitutto per |vv|≥vc ovviamente il viaggio non potrà essere completato per il vento troppo forte e ve=0 (ricordate che ve è la velocità media di tutto il viaggio).
Occupiamoci quindi del caso |vv|<vc ovvero -vc<vv<vc . Applicando la definizione di velocità media sia all'intero viaggio che ai due tratti andata e ritorno e altre ovvie uguaglianze si ottiene il seguente sistema di equazioni:
ve = se / te
se = sa + sr
te = ta + tr
sa = sr = se/2
va = vc + vv = sa / ta
vr = vc - vv = sr / tr
Qui stiamo supponendo che il vento sia a favore all'andata, comunque per ottenere le formule per il caso contrario basta invertire il segno di vv (cioè sostituire vv con -vv). Tenendo conto che l'incognita è ve e le variabili note sono vc e vv, si ottiene facilmente dopo alcuni passaggi la soluzione:
ve = se / (ta + tr)
osservate che nelle nostre ipotesi se != 0 e |vc| != |vv|
= se / (se / (2 (vc + vv)) + se / (2 (vc - vv)))
= 1 / (1 / (2 (vc + vv)) + 1 / (2 (vc - vv)))
= 2 / ( (vc - vv + vc + vv) / (vc2 - vv2)))
= (vc2 - vv2) / vc
Potete fissare dei valori di vc e vv e calcolare ve, ma anche vedere ve come una funzione di due variabili ve(vc, vv), oppure fissata una tra vc e vv come funzione di una sola variabile. Ad es. fissando vc ho ve(vv). Si tratta di una funzione definita a tratti in base ai valori di vv:
+-- 0, per |vv|vc
|
ve(vc, vv) = |
|
+-- (vc2 - vv2) / vc, per |vv| < vc
Possiamo fissare un valore di vc, ad es. 100 (per es. km/h) e disegnare il grafico della funzione di una sola variable reale: +-- 0, per |vv|≥=100
ve(vv) = |
+-- 100 - vv2/100, per |vv| < 100
Eccola qui, l'ho disegnata con Grapher di Mac OS X. C'è un tratto di parabola invertita con due zeri in vv=-vc e vv=vc e vale vc per vv=0:
Per es. osservate che per vv=vc/4=25 ottengo ve=100-6.25=93.75, velocità ridotta al 93.75%. Poi per vv=vc/2=50 ho ve=100-25=75, velocità ridotta a 3/4 (75%). A parole: se la velocità del vento è la metà di quella di crociera, la velocità media di tutto il viaggio si riduce ai 3/4, ossia al 75%. La riduzione della velocità è meno drastica rispetto ad un andamento lineare (il segmento che unirebbe i punti (0,100) e (100,0), ma comunque significativa rispetto al caso di assenza di vento. Solo per valori molto piccoli di vv rispetto a 100 (valori di vv quindi vicini allo zero) si può assumere che la velocità resti invariata (secondo la tangente nel punto (0,100) che è una retta orizzontale).
Il paradosso dell'aereoplano - Enunciato
Introduzione
E' uno stimolante indovinello sul concetto della velocità media. In letteratura potete trovarlo ad esempio nel
volume "Entertaining Mathematical Puzzles" di Martner Gardner (Dover Publications, 1986). È molto economico, se volete acquistarlo, fatelo tramite ClubShop e la libreria Rizzoli per supportare questo sito, grazie.
Quesito
Un aereoplano fa un viaggio di andata e ritorno in linea retta tra due città tra cui soffia un vento costante con velocità vv ("velocità del vento") rispetto alla terra. Si sa che in assenza di vento l'aereo ha una velocità media vc ("velocità di crociera"), uguale sia per il tratto di andata che per quello di ritorno (e quindi anche per l'intero viaggio) e ovviamente misurata rispetto alla terraferma. In presenza di vento qual'è la velocità media effettiva ve dell'aereo durante l'intero viaggio?
Apparente paradosso
Il falso paradosso nasce se si pensa che ve = vc. Questo sembra ragionevole dal momento all'andata il vento sarà a favore e al ritorno sarà contro o viceversa.
Più precisamente se si ipotizza che "ve = vc con vv qualsiasi" si cade nell'assurdo che la velocità media effettiva rimanga invariata anche nel caso in cui |vv|≥vc, una situazione in cui invece dovrebbe essere ve = 0 (il vento è troppo forte e non consente proprio di intraprendere il viaggio di andata se è a sfavore all'andata o quello di ritorno se lo è al ritorno). Questo dimostra per assurdo che l'ipotesi di soluzione, nel preciso modo in cui è stata formulata prima ("ve = vc con vv qualsiasi") è falsa, la risposta corretta deve essere per forza un'altra.
Se si assume ve = vc per 0<vv<vc, si è pure in errore in quanto in realtà in questo caso risulta sempre ve<vc.
Facciamo un esempio numerico: ponendo vc=100 (es. km/h) e vv = 50, supponendo che la distanza tra le due città sia di sa = sr = 300 (km) e che il vento sia a favore, nel viaggio di andata a favor di vento la velocità media va = vc + vv = 100 + 50 = 150, quindi impiego un tempo ta = sa / va = 300 / 150 = 2 (h) (2 ore invece di 3 che impiegherei senza vento, guadagno quindi 1 ora). Nel viaggio di ritorno però similmente ho: vr = 100 - 50 = 50, tr = sr / vr = 300 / 50 = 6 (h) (quindi impiego 6 ore invece delle 3 senza vento). In totale per tutto il viaggio la velocità media è: ve = (sa + sr) / (ta + tr) = (300 + 300) / (2 + 6) = 75 (km/h), quindi si è ridotta di un 25% e in tutto il vento mi ha fatto perdere 2 ore su questa tratta!
E' sbagliato credere quindi che, nell'ipotesi di vento a favore all'andata, il tempo guadagnato per il viaggio d'andata sia uguale a quello che si perderà al ritorno, anzi quest'ultimo è sempre maggiore del primo (vale il viceversa per vento a sfavore all'andata e a favore al ritorno).
Fissato vc, la ve in funzione di vv varierà in modo continuo dal valore vc che assume per vv=0 fino al valore 0 che assume per vv=vc. Se volete sapere come varia, trovate qui i calcoli.
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